Pregled gradiva za prvi test i prvi kolokvijum
Koordinatni sistem
Teme:
- Dekartov pravougli koordinatni sistem.
- Orijentacija koordinatnog sistema u 2D i 3D.
- Levi i desni koordinatni sistem. Smer rotacije u ravni i prostoru.
- Tačke i vektori.
Vektori i matrice
Teme:
- Definicija i osnovni pojmovi, geometrijski i algebarski.
- Tačka i vektor - lokacija i pomeranje.
- Operacije sa vektorima, geometrijski i algebarski.
- p'norma vektora. Jedinična kružnica. Normiranje vektora.
- Skalarni proizvod: definicija, osnovne osobine, interpretacija i primene.
- Vektorski proizvod: definicija, osnovne osobine, definicija i primene.
- Matrice - definicija, osnovni pojmovi i osobine.
- Operacije sa matricama.
- Determinanta matrice: definicija, osnovni pojmovi, izračunavanje.
- Inverzna matrica.
- Matrice i geometrijske transformacije - uvodne napomene.
Mogući zadaci:
- Operacije sa vektorima i njihova primena u rešavanju problema iz prakse.
- Norma i rastojanje.
- Skalarni proivod i projekcija, međusobni položaj objekata, površina paralelograma.
- Vektorski proizvod i normala na ravan trougla. Zapremina Paralelepipeda.
- Razlaganje vektora na dve uzajamno ortogonalne komponente.
- Operacije sa matricama. Izračunavanje inverzne matrice.
Vektori i matrice - zadaci sa vežbi
Vektorski prostori
Teme:
- Definicija vektorskog prostora.
- Primeri. Prostor geometrijskih vektora i prostor n-torki realnih brojeva. Izomorfizam vektorskih prostora.
- Linearna kombinacija, linearna zavisnost, baza, domenzija, koordinate vektora. Primeri.
- Standardna baza. Skalarni proizvod primenjen na određivanje koordinata vektora u standardnoj bazi.
Mogući zadaci:
- Ispitati linearnu zavisnost datog skupa vektora.
- Dopuniti do baze dati skup vektora vektorskog prostora.
- Prikazati dati vektor kao linearnu kombinaciju vektora baze. Odrediti koordinate datog vektora, za datu bazu.
Linearne transformacije
Teme:
- Algebarski pristup geometrijskim transformacijama.
- Linearne transformacije vektorskih prostora. Definicija.
- Primeri linearnih transformacija i onih koje to nisu.
- Važne osobine linearnih transformacija.
- Linearne transformacije i matrice. Svaka matrica generiše linearnu transformaciju.
- Primeri. Geometrijska interprtacija.
- Svaka linearna transformacija se može prikazati matricom i realizovati matričnim množenjem (dokaz teoreme).
- Primeri i geometrijska interpretacija.
- Kompozicija linearnih transformacija i proizvod matrica.
- Inverzna transformacija i inverzna matrica.
Linearne transformacije - slajdovi
Mogući zadaci:
- Utvrditi da li je data transformacija linearna ili ne.
- Napisati matricu date linearne transformacije za standardnu bazu.
- Napisati matricu transformacije ako su poznate slike (dovoljno mnogo) vektora.
- Napisati matricu linearne transformacije za proizvoljnu bazu.
- Napisati matricu kompoziije datih linearnih transformacija i inverzne transformacije date linearne transformacije.
Linearne (i geometrijske) transformacije - zadaci sa vežbi
Geometrijske transformacije
Teme:
- Matrice geometrijskih (linearnih) transfomacija u 2D i 3D.
- Matrice rotacije oko koordinatnog početka (2D) i oko koordinatnih ravni (3D). Rotacija oko proizvoljne tačke i oko proizvoljne prave, kao kompozicija preslikavanja.
- Homotetija (izotropna i neizotropna). U pravcu koordinatnih osa i u pravcu proizvoljne prave.
- Paralelna projekcija na koordinatnu osu, na koordinatnu ravan, na proizvoljnu osu i na proizvoljnu ravan.
- Osna i ravanska simetrija.
- "Shear" u 2D i 3D.
Geometrijske transformacije - slajdovi
Mogući zadaci:
- Napisati matrice transformacija za sve navedene geometrijske transformacije.
- Realizovati kompozicije preslikavanja kao proizvod matrica. Primeniti na različite geometrijske objekte.
Homogene koordinate i afine transformacije
Teme:
- Motivacija za uvođenje homogenih koordinata
- Projektivna geometrija - Geometrijska interpretacija projektivne ravni i projektivne tačke
- Homogene koordinate tačaka Euklidske ravni, i Euklidskog prostora. Beskonačno daleke tačke.
- Matrice transformacija u homogenim koordinatama.
- Matrica translacije u homogenim koordinatama.
- Uticaj rotacije i translacije na beskonačno daleke tačke. Predstavljanje tačaka i vektora pomoću homogenih koordinata.
- Afine transformacije i njihove matrice.
Homogene koordinate i afine transformacije - slajdovi
Mogući zadaci:
- Napisati matricu afine transformacije kao proizvod matrica translcija i linearnih transformacija i primeniti transformaciju na dati skup tačaka u ravni i prostoru.
Homogene koordinate i afine transformacije - zadaci sa vežbi
Transformacije baza i koordinatnih sistema
Teme:
- Transformacije vektorskih prostora i veza između različitih matrica koje ih realizuju. Izbor baze.
- Transformacija jedne baze prostora u drugu i matrica te transformacije.
- Sličnost matrica, klase ekvivalencije.
- Primeri dobro odabranih baza za realizaciju nekih geometrijskih transformacija. Korišćenje matrica transformacija baza.
- Dijagonalne matrice transformacija i baze formirane od karakterističnih korena transformacija.
- Primeri različitih koordinatnih sistema koji se koriste u računarskoj grafici i animaciji.
- Transfomacije koordinata tačaka pri prelasku iz jednog koordinatnog sistema u drugi.
- Ortonormirane baze i one koje to nisu. Skalarni proizvod, pomeranje u pravcu i koordinate.
- Ortogonalne matrice.
- Ortogonalizacija, Gram-Šmitov postupak.
Transformacije baza prostora - slajdovi
Korišćenje različitih baza i koordinatnih sistema - slajdovi
Mogući zadaci:
- Odrediti matricu kojom se realizuje transformacija jedne date baze u drugu.
- Pogodno realizovati transformaciju, koristeći dobro odabranu bazu.
- Odrediti koorinate tačke u jednom koordinatnom sistemu, ako su poznate njene koordinate u drugom, kao i međusobni položaj tih koordinatnih sistema.
- Primenom Gram-Šmitovog postupka ortogonalizovati dati skup vektora ("skoro ortogonalnu" bazu)
Transformacije baza, ortonormirane baze - zadaci sa vežbi