Pregled gradiva za drugi test i drugi kolokvijum
Klasifikacija projektivnih transformacija
Teme:
- Klase projektivnih preslikavanja - različite geometrije.
- Matrice kojima se u ravni realizuju iyometrije, transformacije sličnosti, afine transformacije i projektivne transformacije.
- Invarijante pojedinih klasa projektivnih preslikavanja.
Klasifikacija projektivnih preslikavanja - slajdovi
Perspektivna projekcija
Teme:
- Definicija perspektivne projekcije.
- Matrica perspektivne projekcije.
- Realizacija perspektivne projekcije.
Perspektivna projekcija - slajdovi
Mogući zadaci:
- Napisati matricu transformacije za datu perspektivnu projekciju.
- Realizovati perspektivnu projekciju.
Polarni, cilindrični i sferni koordinatni sistemi
Teme:
- Polarne koordinate, definicija, osobine.
- Transformacija polarnih koordinata u pravougle i obrnuto.
- Cilindrične koordinate, definicija i osobine.
- Sferne koordinate, definicija i osobine.
- Transformacije koordinata (pravouglih, cilindričnih, sfernih) jednih u druge.
Polarne, cilindrične i sferne koordinate - slajdovi
Mogući zadaci:
- Date polarne, cilindrične, sferne koordinate svesti na kanoničke.
- Polazeći od koordinata tačke ili skupa tačaka u jednom koordinatnom sistemu, napisati koordinate tačke ili skupa tačaka u drugom koordinatnom sistemu.
Polarne, cilindrične i sferne koordinate - zadaci sa vežbi
Površi drugog reda
Teme:
- Opšti oblik jednačine površi drugog reda.
- Jednačine sfere, elipsoida, hiperboloida, konusa, paraboloida i cilindra.
Mogući zadaci:
- Napisati jednačinu površi drugog reda koja zadovoljava date geometrijske uslove.
- Prepoznati vrstu površi datu jednačinom.
- Polazeći od jednačine površi u jednom koordinatnom sistemu (pravouglom, cilindričnom, sfernom), napisati jednačinu te površi u drugom koordinatnom sistemu.
Površi drugog reda, rotacija, kompleksni brojevi - zadaci sa vežbi
Prikazivanje orijentacije i rotacije u 2D
Teme:
- Orijentacija i rotacija.
- Različiti načini prikazivanja orijentacije u 2D i 3D.
- Kriterijumi za upoređivanje različitih reprezentacija rotacije u 2D i 3D.
- Prikazivanje rotacije u 2D korišćenjem ugla rotacije - osobine, prednosti i nedostaci.
- Prikazivanje rotacije u 2D korišćenjem matrice rotacije: ortogonalna grupa matrica i SO(2) grupa rotacija. Interpolacija. Matrica kosinusa pravca.
- Prikazivanje rotacije u 2D korišćenjem kompleksnih brojeva. Izomorfizam između S1 (kompleksni brojevi modula 1) i SO(2) grupe. Interpolacija: LERP i SLERP.
- Poređenje osobina svih navedenih metoda.
Mogući zadaci:
- Rotiranje objekata u ravni koristeći različite načine predstavljanja rotacija.
- Prelazak sa jedne reprezentacije na drugu, veza između reprezentacija.
- Utvrđivanje da li je data matrica matrica rotacije. Korekcija matrice Gram-Šmitovim postupkom.
- Interpolacija rotacija u sve tri posmatrane reprezentacije.
- SLERP (Spherical Linear Interpolation) - izvođenje formule za interpolaciju orijentacija.
Prikazivanje rotacije u 2D, kompleksni brojevi i matrica rotacije - zadaci sa vežbi
Prikazivanje orijentacije i rotacije u 3D
Teme:
- Predstavljanje rotacije u 3D korišćenjem matrica rotacije: SO(3) grupa. Određivanje ose i ugla rotacije prikazane matrično. Osobine.
- Ojlerova teorema.
- Ojlerovi uglovi. Različiti izbori osa, i ostale relevantne konvencije. Realizacija koričćenjem odgovarajućih matrica rotacije i generisanje matrice rotacije oko proizvoljne ose, za proizvoljan ugao. Singulariteti ("Gimbal lock").
- Predstavljenje rotacija u 3D pomoću ose i ugla rotacije, odnosno vektora rotacije. Eksponencijalno preslikavanje ("Exponential map") i konverzija vektora rotacije u matricu rotacije.
- Kvaternioni. Definicija, osnovne osobibne i operacije. Jedinični kvaternioni. Prikazivanje orijentacije kvaternionom, i realizacija rotacije. Osobine ove repreuzentacije rotacije. Interpolacija. Matrični zapis kvaterniona.
- Analiza i poređenje svih pomenutih načina prikazivanja orijentacije i rotacije. Kriterijumi za izbor reprezentacije.
- Postupci za prelazak iz jedne reprezentacije rotacije u 3D u drugu.
Prikazivanje rotacije u 3D: matrice rotacije - slajdovi
Prikazivanje rotacije u 3D: Ojlerovi uglovi, vektor rotacije - slajdovi
Prikazivanje rotacije u 3D: kvaternioni - slajdovi
Dodatni materijal_Kvaternioni i njihova primena u geometriji
Mogući zadaci:
- Ispitati da li je data matrica matrica rotacije. Odrediti osu i ugao rotacije polazeći od matrične reprezentacije.
- Realizovati rotaciju predstavljenu Ojlerovim uglovima prelazeći na matričnu reprezentaciju.
- Odrediti Ojlerove uglove za orijentaciju datu matricom rotacije.
- Realizovati matrično rotaciju datu osom rotacije i uglom rotacije.
- Izvršiti osnovne operacije sa kvaternionima (sabiranje, konjugovanje, množenje, određivanje norme, skalarno množenje, određivanje ugla između kvaterniona, matrično predstavljanje, predstavljanje skalara i vektora).
- Reprezentovatie orijentacije kvaternionom. Realizovatia rotacije u 3D odgovarajućim kvaternionom.
- Interpolirati orijentacije predstavljene kvaternionima korišćenjem funkcije SLERP.
- Napisati kvaternion koji predstavlja istu orijentaciju kao i dati Ojlerovi uglovi.
- Napisati matricu rotacije koja predstavlja istu rotaciju kao i dati kvaternion.
Prikazivanje rotacije u 2D i 3D: matrica rotacije, ugao i osa rotacije - zadaci sa vežbi