Numerisk analys, vad är det?

För att förstå vad jag sysslar med måste man förstå vad som menas med numerisk analys. Inom många olika områden försöker man ställa upp (matematiska) modeller över hur saker och ting fungerar. Inom meteorologi försöker man t.ex ställa upp modeller för vädersystem. Gemensamt för de flesta modeller vi ställer upp är att vi inte känner en lösning (inom matematik talar man om analytisk lösning). Vad kan man göra om man nu ändå vill få fram någon slags lösning som ligger tillräckligt nära verkligheten.

 

Figure: Belyser vilken roll numerisk analys har vid problemlösning.

Man kan tänka sig att man förenklar modellen till något man känner en lösning (den vänstra delen i figur 1). Problemet kvarstår dock eftersom man inte kan vara säker på att lösningen till den förenklade modellen ligger tillräckligt nära lösningen till det ursprungliga problemet. Innan det fanns datorer hade vi inga andra alternativ, och forfarande är detta en vanlig metodik inom många områden.

Ett bättre alternativ är att försöka lösa modellen numeriskt (den högra delen i figur 1). Man tar en given matematisk modell och skriver om problemet till något en dator kan beräkna, en numerisk modell. Det är detta som ligger till grund för numerisk analys.

Hur mycket avviker den numeriska lösningen från verkligheten (feluppskattning)? Detta är en central fråga i numerisk analys. Eftersom vi oftast inte känner den rätta (analytiska) lösningen är detta ett mycket svårt och ibland omöjligt problem. För att t.ex göra väderprognoser måste vi kunna ta fram tillförlitliga feluppskattningar, hur ska vi annars kunna lita på det datorn räknar fram .I dag förknippar man väl inte direkt väderprognoser med ordet tillförlitliga.

Ett annat problem inom numerisk analys är datorkraften. Verkliga problem är ofta stora (mycket data) och komplicerade, det krävs därför kraftfulla datorer för att lösa dem numeriskt. Eftersom datorkraften nästan alltid är för liten för det givna problemet behöver vi utveckla effektiva (snabba) numeriska metoder, man talar om högre ordningens metoder. Det är t.ex direkt nödvändigt att få fram (beräkna) morgondagens väderprognoser innan morgondagen. Hög ordning är i stort sett ekvivalent med noggrann och effektiv metod i detta sammanhang.

För att sammanfatta det i en mening. Numerisk analys handlar (i stort) om att utveckla noggranna och effektiva numeriska metoder för att kunna lösa de olika beräkningsproblemen vi ställs inför. En av fördelarna med de numeriska metoderna som utvecklas är att de går att tillämpa på problem från vitt skilda områden. Många betraktar detta sätt att försöka räkna fram en numerisk lösning (datorsimulering) som en tredje vetenskaplig metod vid sidan av teori och experiment.