Kursen gavs under tiden 27 augusti - 16 oktober 2001. Tentamen ägde rum den 18 oktober 2001. Kursen omfattar 3 poäng och är i första hand avsedd för programmen K (Kemiteknik, årskurs 3) och (Miljö- och vattenteknik, årskurs 3). Övriga intresserade är också mycket välkomna att deltaga.
Läromedel
Mål för utbildningen
Kursen skall ge grundläggande
kunskaper om Fourierserier, Fouriertransformer och
z-transformer, samt färdigheter att använda dessa verktyg i
tillämpningar. Se vidare den fastställda kursplanen.
Kursens innehåll enligt kursplanen
Komplexvärda
funktioner: derivator, integraler och serier. Fourierserier,
Fouriertransformer, Laplacetransformer och z-transformer.
Tillämpningar på ordinära och partiella differentialekvationer. Jag
behandlar avsnitten i den ordning de står i boken:
Inlämningsuppgifter
Två uppgifter att behandla har delats ut
den 17 september. De finns också här:
DVI (8 kB) -
PS (62 kB) -
PDF (63 kB).
Svaren skulle vara inne den 28 september respektive den 15 oktober.
Övningar
Ett blad med övningar delades ut den 27
augusti och finns också här (med svar):
DVI -
PS -
PDF.
Blad 2 med övningar delades ut den 17 september och finns också här (med svar):
DVI -
PS -
PDF.
Vad är viktigast?
För att underlätta repetitionen av
kursen inför tentan den 18 oktober har jag skrivit fyra sidor som ger
en översikt över de viktigaste begreppen och resultaten i kursen.
Dessa sidor delades ut den 24 september, men finns också här:
DVI (20 kB) -
PS (110 kB) -
PDF (115 kB).
Gamla tentor
Tentorna från oktober 2000 och januari 2001
har delats ut, inklusive svar. De finns också här, nu även med tentorna i
oktober 2001 och januari 2002.
2000 10 19: DVI -
PS -
PDF;
2001 01 10: DVI -
PS -
PDF;
2001 10 18: DVI -
PS -
PDF;
2002 01 09: DVI -
PS -
PDF.
Ordlista
Jag har gjort en ordlista till kursen med
några av de termer som förekommer. Den finns som
DVI-fil, som
PS-fil och som
PDF-fil.
De svenska och engelska termerna utgör en obligatorisk del av kursen.
Övriga språk är frivilliga.
Faltning
Jag har talat om faltning av följder och
funktioner under kursen och har skrivit några sidor om detta (se ovan
under läromedel).
Spektrogram
Jag har talat om spektrogram och
deras användning i studiet av mänskligt tal och fågelsång. Jag har
skrivit ned det jag vill berätta om detta (se ovan under läromedel).
Här nedan står det F för föreläsningar (30 timmar) och f för övningstillfällena i min grupp, WA (18 timmar). (Dessutom har Maciej Mroczkowski gruppen WB, Anders Pelander gruppen KA och Karl-Heinz Fieseler gruppen KB. De senare listas dock inte här, eftersom jag inte kan hålla reda på eventuella schemaändringar i dessa grupper.)
F1, 27 augusti: Inledning. Fouriers behandling av värmeledning (Joseph Fourier, 1768-1803; värmeledning 1807-1822). Periodiska och aperiodiska förlopp. Analys (upplösning) och syntes (sammansättning). Varför transformera? Den komplexa exponentialfunktionen; derivering: (d/dt)exp(ct) = c exp(ct) även för komplexa c. Laplacetransformationen: definition (Pierre Simon de Laplace, 1749-1827; hans bok om sannolikhetsteori 1812 innehåller Laplacetransformationen). Dimensionsanalys av Laplacetransformen: om f är en funktion av tiden med värden som är längder, så är L(f) en funktion av invers tid (frekvens) med värden som har dimensionen längd gånger tid. Transformen av en derivata: L(f')(s) = sL(f)(s) - f(0).
F2, 28 augusti: Laplacetransformationen: egenskaper; transformer av vissa funktioner. Varje exponentialpolynom kan Laplacetransformeras, och transformen av en sådan funktion är en rationell funktion vars nämnare har större gradtal än täljaren. Omvänt är varje sådan rationell funktion transformen av ett exponentialpolynom. Heavisidefunktionen och dess Laplacetransform. Faltning. Laplacetransformen av en faltningsprodukt är produkten av de två faktorernas transformer: L(f*g) = L(f)L(g).
F3, 29 augusti: Transformen av g(t) = af(t/b) är G(s) = abF(bs). Vad händer om a = 1/b med b positivt och b går mot noll? Ingen funktion har Laplacetransform 1. Diracmåttet som ett idealt element med Laplacetransform 1. Exempel på hur man kan lösa faltningsekvationer medelst Laplacetransformation. Relationen mellan insignalen och utsignalen från en svart låda beskrivs under vissa antaganden av en faltningsoperator. Definition av ett stabilt lineärt system: en störning i insignalen ger en störning i utsignalen som går mot noll då tiden går mot plus oändligheten. Kriterium för stabilitet hos differentialekvationer: realdelen för polerna i Laplacetransformen avgör.
F4, 30 augusti: Exempel på stabila och instabila system. En elektrisk krets' uppförande. De tre viktiga rummen som funktionerna lever på: R (reella axeln), Z (heltalen), T = R/Z (cirkeln). Följder och differensekvationer. Fibonaccitalen definierade genom en differensekvation.
F5, 31 augusti: z-transformationen. Jämförelse mellan Fouriertransformationen, Laplacetransformationen och z-transformationen. Räkneregler för z-transformer. Elementära följder har som transform vissa rationella funktioner. Följdens uppförande avslöjas av dessas poler.
f1, 31 augusti: Den första övningen. Vi räknade uppgifter från den första övningslappen (se ovan).
F6, 10 september: Karaktärisering av de följder vilkas z-transformer är rationella funktioner. Faltning av följder. Faltningsproduktens z-transform är lika med produkten av faktorernas z-transformer. Begreppet stabilitet för en differensekvation. Stabilitetskriteriet: om polynomets nollställen alla ligger innanför enhetscirkeln, så är varje lösning till differensekvationen stabil under elementära störningar.
F7, 12 september: Begynnande studium av Fourierserier. Trigonometriska polynom och deras derivator. Ortogonalitet hos de trigonometriska funktionerna. Beräkning av några Fourierserier. Jämna och udda funktioner; motsvarande cosinus- och sinusserier. Fourieranalys och Fouriersyntes.
f2, 12 september: Diskussion av ytterligare några av övningsproblemen på blad 1. Diskussion av några av problemen i boken: sidan 42, problem 4 och 5 (b,c,d), 6 (b), 7 (a); sidan 47, problem 8 (a,b,c,d); sidan 48, problem 2.9.
F8, 13 september: Fourierserien av en funktions derivata fås genom formell derivering av dess Fourierserie. Några exempel på användning av detta. Parsevals relation. Exempel på denna: boken sidan 68, 16 a). Beräkning av summan 1 + 1/16 + 1/81 + 1/256 + ... (den är pi^4/90 = 1,082323234...).
f3, 14 september: Ett urval av följande övningar på kapitel 3 diskuterades: testproblemen 6, 8, 9 g, 10 g, 11, 12 b, 13 a, 13 b, 14 b, 15 b; övningar 3.11, 3.12.
F9, 17 september: Amplitud och fasvinkel. Frekvensfiltrering. För vilka funktioner konvergerar Fourierserien mot funktionen? Dirichletkärnan och något om Fejérkärnan. Riemann-Lebesgues lemma. Definition av Fouriertransformationen på reella axeln.
F10, 18 september: Något om Fouriertransformationen i flera variabler. Fouriertransformen av vissa enkla funktioner, framför allt sinus- och cosinussvängningar under en begränsad tid. Amplitudspektrum och fasvinkelspektrum för sådana svängningar. Fouriertransformen av en klockkurva.
f4, 18 september: Några övningar från blad 2, bl.a. om Parsevals relation.
F11, 19 september: Faltning på reella axeln: definition. Fouriertransformen av en faltning är produkten av faktorernas Fouriertransformer. Som exempel faltning av klockkurvor. Fortsatt studium av spektrum av en signal. Amplitudspektrum och fasvinkelspektrum. Spektralanalys av olika språkljud. Hur skiljer sig de olika vokalljuden spektralt sett? De två lägsta frekvenserna räcker för att karaktärisera vokalljuden, så de kan ritas in i ett diagram med blott två dimensioner. Den näst lägsta frekvensen (den andra formanten) hörs när man viskar och man kan då höra att den andra frekvensen i följden [i e a o u] avtar. Definition av spektrogram.
f5, 19 september: Noggrann diskussion av övningarna 3.18, 3.19 (sidan 79). Flera frågor om Fourierserier. (Uppgiften 4.4, sidan 95, sparas till ett senare tillfälle.)
F12, 24 september: Mer om spektrogram. Spektrogram för en
följd av vokaler. Hur ser spektrum för [s] och [^s] ut?
Amplitudspektrum av olika typer av signaler: rena toner, smällar,
drillar. Lars Gårdings bok om fåglarnas sånger och läten, som visar
hur fågelsång kan avläsas från spektrogram. Parsevals relation för
Fouriertransformationen: Fouriertransformationen är en isometri för
L2-normen. Jämförelse med Parsevals relation för
Fourierserier.
Jan Lindgren, professor i oorganisk kemi,
berättade om användning av Fouriermetoder inom kemin
(09:30-10:00).
f6, 24 september: Uppgift 4.4. Noggrann genomgång av två övningar som handlar om amplitud- och fasvinkelspektrum: 4.6 (sidan 96) och 4.8 (sidan 97). (Övning 4.9, sidan 97, får sparas till ett senare tillfälle.)
F13, 28 september: Frekvensfiltrering. Separation av
variablerna för att lösa värmeledningsekvationen: en stav som har en
termostat i varje ändpunkt eller är isolerad i varje ändpunkt.
Laust Børsting Pedersen, professor i fasta jordens fysik,
berättade om användning av Fouriermetoder inom geovetenskaperna
(09:30-10:00).
f7, 28 september: Övning 4.9 (sidan 97) diskuteras. Värmeledning och vågutbredning behandlas medelst separation av variablerna: diskussion av övningarna 5.9 och 5.10 (sidan 118).
F14, 8 oktober: Fourieranalys av tidvattnet: de dominerande
frekvensen kommer från jordens rotation i förhållande till månen, den
därnäst viktigaste från jordens rotation i förhållande till solen.
Perioden hos den största komponenten är ungefär 12,5 timmar, den
därefter 12 timmar. Fouriersyntes av tidvattnet med hjälp av 20 olika
termer, varav 12 har astronomiskt ursprung och 8 har geografiskt
ursprung.
Värmeledningsekvationen (fortsättning): en stav med
termostater i varje ändpunkt respektive isolerade ändpunkter.
Vågekvationen: vågor som går åt höger eller vänster. Separation av
variablerna för att lösa vågekvationen: en sträng som är fastspänd i
sina ändpunkter.
f8, 15 oktober: Genomgång av tentan 2001 01 10.
F15, 15 oktober: Dygns- och årsvariation av temperaturen i jorden. Dygnsvariationen hos temperaturen i marken varierar i motsatt fas på ett visst djup, säg d. Årsvariationen hos temperaturen varierar i motfas på ett djup D. Då är D = 19d oberoende av markens beskaffenhet. Vidare är amplituden vid djupen d och D 4,32 procent av motsvarande amplitud vid markytan. Rekonstruktion av temperaturen på Grönland från den aktuella temperaturen nere i isen till 3000 meters djup. Lösning av problem 5.18 (en inhomogen värmeledningsekvation) medelst separation av variablerna.
f9, 16 oktober: Genomgång av tentan 2000 10 19 (uppgifterna 4 och 5 är mycket lika inlämningsuppgifterna). Alla andra frågor.
18 oktober: Tentamen. Resultatet blev mycket bra: på K fick 22 personer (52%) betyget 5, 10 (24%) betyget 4, 6 (14%) betyget 3 och 4 (10%) blev underkända; på W fick 20 personer (65%) betyget 5, 5 (16%) betyget 4 och 6 (19%) betyget 3; på W fick två personer betyget 5 och en person blev underkänd.
Tentamensfrågorna och svar till dem finns att hämta utanför mitt rum MIC 2242 men också som datafiler: se ovan under rubriken Gamla tentor.
9 januari 2002: Ny tentamen. Av sju skrivande kemister fick 1 betyget 5, 3 betyget 4, 2 betyget 3 och en blev underkänd. En från W fick betyget 5. En från X fick betyget 3. Skrivningen med lösningar återfinns ovan under rubriken Gamla tentor.
Christer