Kursen gavs under tiden 28 augusti - 16 oktober 2000. Tentamen ägde rum den 19 oktober 2000. Kursen omfattar 3 poäng och är avsedd för programmen K (Kemiteknik, årskurs 3) och W (Miljö- och vattenteknik, årskurs 3). Från K har 43 teknologer anmält sig, från W har 53 anmält sig, från F, X, IT och STS vardera en person, totalt således 100 (2000 08 28). Övriga intresserade är också välkomna att deltaga.
Läromedel
Mål för utbildningen
Kursen skall ge grundläggande
kunskaper om Fourierserier, Fouriertransformer och
z-transformer, samt färdigheter att använda dessa verktyg i
tillämpningar. Se vidare den fastställda DVI -
PS -
PDF.
Lösningar
Jag har gjort lösningar till
tentan 1998 08 14.
DVI -
PS -
PDF.
Ordlista
Jag har gjort en ordlista till kursen med
några av de termer som förekommer. Den finns som
DVI-fil, som
PS-fil och som
PDF-fil.
De svenska och engelska termerna utgör en obligatorisk del av kursen.
Övriga språk är frivilliga.
Faltning
Jag har talat om faltning av följder och
funktioner under kursen och har skrivit några sidor om detta.
Spektrogram
Jag har talat om spektrogram och deras
användning i studiet av mänskligt tal och fågelsång. Jag har skrivit
ned det jag berättat om detta. Texten delades ut den 9 oktober och
finns också här; se ovan.
Här nedan står det F för föreläsningar (32 timmar) och f för övningstillfällena i min grupp K (16 timmar). (Dessutom har Anders Vretblad en grupp K och en grupp W samt Karl-Heinz Fieseler en grupp W. Dessa listas inte här eftersom jag inte kan hålla reda på eventuella schemaändringar i dessa grupper.)
F1, 28 augusti: Inledning. Fouriers behandling av värmeledning (Joseph Fourier, 1768-1803; värmeledning 1807-1822). Periodiska och aperiodiska förlopp. Analys (upplösning) och syntes (sammansättning). Varför transformera? De tre viktiga rummen som funktionerna lever på: R (reella axeln), Z (heltalen), T = R/Z (cirkeln). Laplacetransformationen: definition (Pierre Simon de Laplace, 1749-1827; hans bok om sannolikhetsteori 1812 innehåller Laplacetransformationen). Transformen av en derivata: L(f')(s) = sL(f)(s) - f(0).
F2, 30 augusti: Den komplexa exponentialfunktionen; derivering: (d/dt)exp(ct) = c exp(ct) även för komplexa c. Laplacetransformationen: egenskaper, transformer av vissa funktioner. Dimensionsanalys av Laplacetransformen: om f är en funktion av tiden med värden som är längder, så är L(f) en funktion av invers tid (frekvens) med värden som har dimensionen längd gånger tid. Varje exponentialpolynom kan Laplacetransformeras, och transformen av en sådan funktion är en rationell funktion vars nämnare har större gradtal än täljaren.
f1, 31 augusti: Den första övningen. Vi räknade uppgifter från den första övningslappen (se ovan under rubriken Övningar).
F3, 1 september: Varje rationell funktion vars nämnare har större gradtal än täljaren är Laplacetransformen av ett exponentialpolynom. Heavisidefunktionen och dess Laplacetransform. Diracmåttet som ett idealt element med Laplacetransform 1. Faltning. Laplacetransformen av en faltningsprodukt är produkten av de två faktorernas transformer: L(f*g) = L(f)L(g). Relationen mellan insignalen och utsignalen från en svart låda beskrivs under vissa antaganden av en faltningsoperator. Stabila och instabila svarta lådor: realdelen av polerna i Laplacetransformen avgör.
F4, 5 september: Exempel på hur man kan lösa faltningsekvationer medelst Laplacetransformation. En elektrisk krets' uppförande. Begynnande studium av z-transformationen.
F5, 6 september: z-transformationen. Jämförelse mellan Fouriertransformationen, Laplacetransformationen och z-transformationen. Räkneregler för z-transformer. Elementära följder har som transform vissa rationella funktioner. Följdens uppförande avslöjas av dessas poler. Stabilitetssatsen: om polynomets nollställe ligger innanför enhetscirkeln, så är varje lösning till differensekvationen stabil under elementära störningar.
f2, 7 september: Kapitel 1: Vi gick igenom testproblem 27 på sidan 32. Kapitel 2: testproblem 5(a), (c), (d), 8(a), (b), (c), (d) och övning 2.9.
F6, 8 september: Faltning av följder. Faltningsproduktens z-transform är lika med produkten av faktorernas z-transformer. Karaktärisering av de följder vilkas z-transformer är rationella funktioner. Begynnande studium av Fourierserier.
F7, 11 september: Trigonometriska polynom och deras derivator. Ortogonalitet hos de trigonometriska funktionerna. Beräkning av några Fourierserier. Jämna och udda funktioner; motsvarande cosinus- och sinusserier.
f3, 11 september: En övning på kapitel 2. Övningar på kapitel 3: testproblemen 2a), 3b), 6, 10, 11, 12b), 13a), 13 b).
F8, 14 september: Fourieranalys och Fouriersyntes. Fourierserien av en funktions derivata fås genom formell derivering av dess Fourierserie. Några exempel på användning av detta. Parsevals relation. Exempel på denna: 16 a).
f4, 14 september: Några övningar, bl.a. 14 b), c). Exempel på Parsevals relation: övningarna 16 b), c).
F9, 15 september: Amplitud och fasvinkel. Frekvensfiltrering. För vilka funktioner konvergerar Fourierserien mot funktionen?
F10, 18 september: Konvergens av Fourierserier. Dirichletkärnan och något om Fejérkärnan. Riemann-Lebesgues lemma. Om en funktion har k kontinuerliga derivator så avtar dess Fourierkoefficienter som n-k. Något om autokorrelationsfunktionen. Definition av Fouriertransformationen på reella axeln.
f5, 18 september: Noggrann diskussion av övningarna 3.18, 3.19 och 4.4.
F11, 19 september: Några räkneregler för Fouriertransformationen. Fouriertransformen av vissa enkla funktioner, framför allt sinus- och cosinussvängningar under en begränsad tid. Amplitud- och fasvinkelspektrum för sådana svängningar. Faltning på reella axeln. Fouriertransformen av en klockkurva.
F12, 20 september: Flera räkneregler. Fouriertransformen av en faltningsprodukt. Faltning av två klockkurvor. Frekvensfiltrering. Början på kapitel 5.
f6, 21 september: Noggrann genomgång av två övningar som handlar om amplitud- och fasvinkelspektrum: 4.6 och 4.8. Frekvenser i musiken. Lösning av övning 4.9.
F13, 28 september: Fortsättning på kapitel 5: lösning av ordinära differentialekvationer medelst Fourierserier. Stabilitet hos en elektrisk krets och dess komplexa impedans. Laust Börsting Pedersen, professor i fasta jordens fysik, berättade om användning av Fouriermetoder inom geovetenskaperna (9:30-10:00).
F14, 3 oktober: Spektralanalys av olika språkljud: hur ser spektrum för [s] och [^s] ut? Hur skiljer sig de olika vokalljuden spektralt sett? De två lägsta frekvenserna räcker för att karaktärisera vokalljuden, så de kan ritas in i ett diagram med blott två dimensioner. Den näst lägsta frekvensen hörs när man viskar och man kan då höra att den andra frekvensen i följden [i e a o u] avtar.
Tidvattnets olika perioder. Fourieranalys av tidvattnet: de dominerande frekvensen kommer från jordens rotation i förhållande till månen, den därnäst viktigaste från jordens rotation i förhållande till solen. Perioden hos den största komponenten är ungefär 12,5 timmar, den därefter 12 timmar. Fouriersyntes av tidvattnet med hjälp av 20 olika termer, varav 12 har astronomiskt ursprung och 8 har geografiskt ursprung.
Värmeledningsekvationen: en stav med termostater i varje ändpunkt.
f7, 4 oktober: Noggrann genomgång av talen 1, 2, 3 och 5 på tentan från 2000 08 23. [I uppgift 3 skall a_0 vara 10/3. I uppgift 4 skall integralernas värden vara 3 pi/4 respektive 32 pi/15. I uppgift 5 skall svaret vara 1 + x + x3 + exp(-pi2t)sin(pi x).]
F15, 6 oktober: Amplitudspektrum av olika typer av signaler: rena toner, smällar, drillar. Genomgång av Lars Gårdings bok om spektrogram av fågelsång som tillåter avläsning av fågelsång från spektrogram. Sats om dygns- och årsvariation av temperaturen i jorden: dygnsvariationen hos temperaturen i marken varierar i motsatt fas på ett visst djup, säg d. Årsvariationen hos temperaturen varierar i motfas på ett djup D. Då är D = 19d. Vidare är amplituden vid djupen d och D 4,32 procent av motsvarande amplitud vid markytan. Plancherels formel: Fouriertransformationen är en isometri för L2-normen. Värmeledningsekvationen: en stav som är isolerad i varje ändpunkt.
F16, 9 oktober: Sista föreläsningen. Vågekvationen. Vågor som går åt höger eller vänster. Separation av variablerna. Lösning av problem 5.18 medelst separation av variablerna.
f8, 16 oktober: Sista övningen. Noggrant studium av Fouriertransformen av en avhuggen cosinussvängning: var ligger topparna, hur höga är de, hur påverkas amplitudspektrum och fasvinkelspektrum av en translation? Värmeledning och vågutbredning behandlas medelst separation av variablerna: diskussion av problemen 5.9 och 5.10.
19 oktober: Tentamen. Resultaten finns anslagna på den Plurikomplexa anslagstavlan i hus 2, plan 2.
10 januari 2001: Omtenta.
Christer