Informationsteknologi Tom Smedsaas

2004-03-07

Några användbara matematiska samband

Aritmetiska serier

∑_{i=1}^{n} i = 1 + 2 + 3 + … + n = \frac{n(n + 1)}{2}  (1)

Mer allmänt, om a_{i} = a_{i−1} + c där c är en konstant, så gäller

∑_{i=1}^{n} a_{i} = a_{1} + a_{2} + a_{3} + … + a_{n} = \frac{n(a_{1} + a_{n})}{2}  (2)

Geometriska serier

Om kvoten k ≠ 1 så gäller

∑_{i=0}^{n−1} k^{i} = 1 + k + k^{2} + … + k^{n−1} = \frac{k^{n} − 1}{k − 1}  (3)

Om |k| < 1 så gäller

∑_{i=0}^{∞} k^{i} = 1 + k + k^{2} + … = \frac{1}{1 − k}  (4)

Kvadratsumma

∑_{i=1}^{n} i^{2} = \frac{n(n + 1)(2n + 1)}{6}  (5)

Specialsumma

Om α ≠ 1 så gäller

∑_{i=1}^{k} iα^{i} = \frac{α}{1 − α} [\frac{1 − α^{k}}{1 − α} − kα^{k}]  (6)

Informationsteknologi Tom Smedsaas

2004-03-07

Harmonisk serie

H_{n} = ∑_{k=1}^{n} \frac{1}{k} = 1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + … + 1/n = log n + γ + O(\frac{1}{n})  (7)

där γ = 0.5772 … är Eulers konstant.

Logaritmlagar

y = log_{a} x ⟺ a^{y} = x  (8)

log_{a} x = \frac{log_{b} x}{log_{b} a}  (9)

log xy = log x + log y  (10)

log x^{n} = n log x  (11)

log \frac{x}{y} = log x − log y  (12)

x^{log y} = y^{log x}  (13)

Fibonaccital

Om

F_{0} = 0,
F_{1} = 1,
F_{i} = F_{i−1} + F_{i−2}

så gäller att

F_{i} = \frac{ϕ^{i} − ϕ̂^{i}}{\sqrt{5}}  (14)

där ϕ = (1 + \sqrt{5})/2 och ϕ̂ = (1 − \sqrt{5})/2